Сергей Сергеевич Лебедев
Меню сайта
Категории каталога
Мои статьи [21]
В разработке [1]
Наш опрос
Какими операционными системами Вы пользуетесь
Всего ответов: 100
Главная » Статьи » Мои статьи

Системы счисления

С.С. Лебедев
ст. преподаватель кафедры ЕНТД КФ АГТУ
А.В. Бабкина
студентка химико-технологического факультета

Будь благословенно божественное число, породившее богов и людей.
Пифагор Самосский
Системы счисления
    Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков – цифр. Во многих местах люди стали использовать для счета пальцы. Одна из таких систем счета и стала общеупотребительной – десятичная. До сих пор существуют в Полинезии племена с 20-чной системой счисления (с учетом пальцев на ногах).
    Сегодня мы настолько сроднились с 10-чной системой счисления, что не представляем себе иных способов счета, пока не вспомним о времени. Нас не смущает, что в минуте 60 секунд, а не 10 или 100. И в часе 60 минут, но более удивительно, что в сутках 24 часа, а в году 365 дней. Таким образом,
  • время (часы и минуты) мы считаем в 60-чной системе,
  • сутки – в 24-чной,
  • недели в 7-чной,
  • месяцы совсем хитро – каждый по своему,
  • года в 12-чной, если в месяцах, или в 365-чной, если в днях.
    Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, «по-арабски». Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке. Но, тем не менее, числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буковки, другие – значки, третьи – закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень. Ведь не так-то просто даже имея цифры (значки, которыми записываются числа), записать какое-нибудь число. Для этого нужна система счисления (способ записи чисел с помощью цифр).
    Система счисления – очень сложное понятие. Оно включает в себя все законы, по которым числа записываются и читаются, а так же те, по которым производятся операции над ними.
    Самая простая система счисления была еще у древних людей. Какое число нужно записать, столько сделают засечек на палке, или в кучку камешков положат. Но это удобно, пока числа небольшие. Вы только представьте себе число 1 000 записанное с помощью кучки камушков, а 1 000 000? Неудобно?
    Тогда стали люди придумывать как по другому записывать большие числа. Для начала решили, что каждые 10 палочек заменять загогулинкой, и счет пошел легче! Так появилась аддитивная система счисления.
    В этой системе счисления для записи чисел используется уже не несколько цифр, а большая часть алфавита. Все цифры здесь изображаются в точности так же, как и буквы алфавита того народа, который использовал эту систему.
    Такая система счисления уже годится для записи чисел, но она крайне неудобна для счета. Любое из четырех действий арифметики может вызвать затруднение. Для счета здесь нужна большая сноровка.
    Вы только попробуйте разделить два вот таких числа XCIX и XXXIII. А ведь всего-то это 99 : 33.Удобств для счета, как мы видим ни каких. Такой системой счисления пользовались Римляне, Греки, Арабы, Евреи, Сирийцы, Славяне, Грузины.
    Но люди никогда не стоят на месте, они постоянно чего-нибудь изобретают. Не захотелось людям вырисовывать по десятку палочек да загогулинок, и решили каждое круглое число обозначить по-особому. Но для этого потребовалось большое количество цифр-символов, и, чтобы не изобретать велосипед, решили использовать алфавит. Так и появилась на свет алфавитная аддитивная система счисления. Такая система очень долго использовалась по всей Европе, и во многих государствах за ее пределами.
    Но далеко не все народы делали свои записи с помощью алфавита или слоговых знаков. В Китае иероглифы не позволили появиться такой системе счисления, и тогда ученые изобрели немного другую систему, названную мультипликативная система счисления.
    В таких системах счисления для записи чисел используется уже определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Все цифры здесь изображаются определенными символами.
    Например, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, …, 99, 100, 101 …
    Запись числа 1999 означает, что 1 * 1000 + 9 * 100 + 9 * 10 + 9. Для того, чтобы «собрать» такое число используется умножение (multiplication англ.), из-за чего систему и назвали «мультипликативной». Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо развитой математикой. По сей день, мы используем только такую систему счисления.
    Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета. Любое из действий арифметики и алгебры может быть выполнено легко. Для счета здесь не нужна большая сноровка.
    Впервые такая система, вернее ее зачатки появилась в Древнем Вавилоне, почти в то же время она была изобретена в Китае, потом в Индии, откуда перекочевала на Аравийский полуостров, а затем и в Европу. Здесь эту систему счисления назвали Арабской, и под этим именем она разошлась по всему миру.
    Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация. Название «арабская» для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации – Индия.
    В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке – санскрите, использующем алфавит «Деванагари».
    Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак – жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация «Деванагари» превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой переход – до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию.
    Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее «арабской». Это исторически неправильное название удерживается и поныне.
    Из арабского языка заимствовано и слово «цифра» (по-арабски «сыфр»), означающее буквально «пустое место» (перевод санскритского слова «сунья», имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин «нуль» (nullum – ничто). Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся, установилась в XVI веке.
    Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами.
    Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
    Непозиционными системами являются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская система. К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.
    Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни.
    Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления – «p».
    В десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; эта система имеет основанием число десять.
    Принято представлять числа в виде последовательности цифр:
    N = anan-1 ... a1a0 . a-1a-2 ...
    В этой последовательности точка отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если нет отрицательных степеней (число целое).
    Например, рассмотрим числа, записанные в десятичной системе счисления.
    2647
    4051.782
    Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:
    N = anpn+an-1pn-1+ ... +a1p+a0р0+a-1p-1+a-2p-2+ ...,
здесь N – число, aj – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p > 1).
    Например, рассмотрим числа, записанные в десятичной системе счисления.
    2*103+6*102+4*101+7*100
    4*103+0*102+5*101+1*100+7*10-1+8*10-2+2*10-3
    При разложении числа в полином есть строгое ограничение, р должно быть натуральным числом большим единицы. Коэффициенты aj должны быть целыми числами. Допустим, что коэффициенты могут быть и отрицательными числами, тогда общую запись разложения числа в полином можно представить так:
    N = anpn±an-1pn-1± ... ±a1p±a0р0±a-1p-1±a-2p-2± ...
    Таким образом, любое число можно разложить в полином, используя не только операцию сложения, но и вычитания. В таблице ниже укажем представления чисел от 1 до 20 на основе традиционного разложения и разложения с учетом отрицательных значений коэффициентов. Введем обозначение. Коэффициент, значение которого меньше нуля будем подчеркивать чертой снизу.
 

Сложение

Сложение и вычитание

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

5

6

6

10-4

14

7

7

10-3

13

8

8

10-2

12

9

9

10-1

11

10+0

10

10+0

10

10+1

11

10+1

11

10+2

12

10+2

12

10+3

13

10+3

13

10+4

14

10+4

14

10+5

15

10+5

15

10+6

16

20-4

24

10+7

17

20-3

23

10+8

18

20-2

22

10+9

19

20-1

21

    Из таблицы видно, что для записи любого десятичного числа достаточно всего шести цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Назовем такую систему счисления полудесятичной.
    Теорема. В любой полусистеме счисления с полуоснованием р количество цифр для записи чисел равно n+1, если справедливо p=2n (p – четное), или n, если p=2n-1 (p – нечетное).
Категория: Мои статьи | Добавил: Сергей_Лебедев (10.01.2009)
Просмотров: 2895 | Рейтинг: 0.0/0 |
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Форма входа

Поиск
Друзья сайта
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Copyright С.С. Лебедев © 2020Конструктор сайтов - uCoz