Сергей Сергеевич Лебедев
Меню сайта
Категории каталога
Мои статьи [21]
В разработке [1]
Наш опрос
Какими операционными системами Вы пользуетесь
Всего ответов: 100
Главная » Статьи » Мои статьи

Фрактальный треугольник

С.С. Лебедев
ст. преподаватель кафедры ЕНТД КФ АГТУ

Красота – в простоте.
М. Горький

Фрактальный треугольник

    Каждый из нас часто видел довольно хитроумные картины, на которых непонятно что изображено, но всё равно необычность их форм завораживает и приковывает внимание. Как правило, это хитроумные формы, не поддающиеся какому-либо математическому описанию. К примеру, узоры на стекле после мороза или хитроумные кляксы, оставленные на листе чернильной ручкой, так вот что-то аналогичные узоры можно записать в виде некоторого алгоритма. Подобные множества называют фрактальными. Фракталы не похожи на привычные нам фигуры, известные из геометрии, и строятся они по определенным алгоритмам, а эти алгоритмы с помощью компьютера можно изобразить на экране.
    Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено бельгийским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других учёных, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
    Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».
    Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.
    Всё множество фрактальных узоров можно разделить на три группы. Кратко опишем каждую группу.
    Геометрические фракталы. Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трёхмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал. Классический пример геометрического фрактального множества представлен на рисунках ниже.

Рис. 1 Построение триадной кривой Кох

Рис. 1 Построение триадной кривой Кох

Рис. 2 Снежинка Кох. Предфрактал четвертого порядка

Рис. 2 Снежинка Кох. Предфрактал четвертого порядка

    Алгебраические фракталы. Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от её начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят – аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. Примеры алгебраических фракталов представлены на рисунках ниже.

Рис. 3 Алгебраический фрактал

Рис. 3 Алгебраический фрактал

Рис. 4 Алгебраический фрактал

Рис. 4 Алгебраический фрактал

    Стохастические фракталы. Ещё одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. Примеры стохастических фракталов представлены на рисунках ниже.

Рис. 5 Стохастический фрактал Плазма

Рис. 5 Стохастический фрактал Плазма

Рис. 6 Стохастический фрактал Цветы

Рис. 6 Стохастический фрактал Цветы

Рис. 7 Стохастический фрактал основе спиралей

Рис. 7 Стохастический фрактал основе спиралей

    В заключении рассмотрим геометрический фрактал, построенный на основе равносторонних треугольников. Предфрактал нулевого порядка – равносторонний треугольник. Предфрактал первого порядка образуется построением равносторонних треугольников по сторонам квадрата. Предфрактал второго порядка образуется построением предфрактала первого порядка по сторонам правильного пятиугольника и т.д. этапы построения фрактального треугольника показаны на рисунке ниже.

Рис. 8 Построение фрактального треугольника

Рис. 8 Построение фрактального треугольника

Рис. 9 Фрактальный треугольник. Предфрактал четвертого порядка

Рис. 9 Фрактальный треугольник. Предфрактал четвертого порядка

 
Категория: Мои статьи | Добавил: Сергей_Лебедев (10.01.2009)
Просмотров: 4729 | Рейтинг: 4.8/4 |
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Форма входа

Поиск
Друзья сайта
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Copyright С.С. Лебедев © 2020Конструктор сайтов - uCoz