Сергей Сергеевич Лебедев
Меню сайта
Категории каталога
Мои статьи [21]
В разработке [1]
Наш опрос
Какими операционными системами Вы пользуетесь
Всего ответов: 100
Главная » Статьи » Мои статьи

Полусистемы счисления
Полусистемы счисления
Краткая история развития счисления
    Счёт в человеческом обществе появился с необходимостью определения количества предметов. С древнейших времён люди использовали для счёта пальцы рук. Именно тогда исторически была заложена основа исчисления посредством десяти цифр. Сложившаяся на основе этой предпосылки система счёта называется десятичной.
    Но появление десятичной системы счисления не было мгновенным и безоблачным. Долгое время существовали и другие способы определения количества предметов. Историческое разнообразие систем счёта имеет много различных примеров. Вот некоторые из них.
    Широко были распространены системы, в которых использовались буквы для обозначения чисел. В римском счёте для обозначения одних и тех же чисел использовались одни и те же буквы, а у славян использовались все буквы алфавита, обозначавшие разное количество сотен, десятков и единиц. У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления, основанная на количестве пальцев одной руки. Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её тоже связано со счётом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12. Элементы этой системы существуют в Англии до сих пор. А в Древнем Вавилоне применялась шестидесятеричная система счисления. Она использовалось учёными мира вплоть до XVII века для вычисления дробей. Отголоски этой системы сохранились в исчислении градусной меры, времени. Ещё один пример: древние кельты в Западной Европе, древние ацтеки и майя в Центральной Америке использовали для счёта систему, основанную на двадцати единицах. Именно в Центральной Америке существуют племена, которые для счёта используют не только пальцы рук, но и ног. Таким образом, у них в обиходе используется двадцатеричная система счисления. Подобных примеров можно приводить ещё много.
    Развитие торговли требовало использования единообразного счёта. Этот фактор послужил предпосылкой установления и распространения поразрядной системы нумерации. Развитие математики и других точных наук привело к признанию десятичной системы счисления как общепринятой. Зарождение десятичной системы началось в Древней Индии. Именно с полуострова Индостан в арабскую культуру пришли десять цифр. Впервые сочинение, посвящённое арифметике, появилось из-под пера крупнейшего представителя багдадской школы – аль-Хорезми. Ближний восток стал математическим центром мира. Большое влияние на развитие математики и укрепления позиций десятичной системы счисления оказали арабские учёные X-XV веков: аль-Хорезми, аль-Каши, аль-Бируни, Омар Хайям и другие.
Стереотипы
    Научная мысль рука об руку с десятичной системой счисления пришли в Европу и дали толчок новому развитию математической науки. Многовековая история использования десятичной системы укоренила в сознании поколений людей стереотип об удобстве (даже единственности) десятичного счёта. Дальнейшее изложение будет проиллюстрировано именно на десятичной системе счисления.
    Изучение чисел, способов их записи, действий над ними насчитывает уже много веков. В процессе работы с позиционными системами счисления была заложена основа ещё одного стереотипа о разложении числа в полином. Любое число в позиционной системе счисления может быть разложено в полином по степеням основания системы счисления:
Np = anan-1 ... a1a0 , a-1a-2 ...,
Np = anpn+an-1pn-1+ ... +a1p1+a0р0+a-1p-1+a-2p-2+ ...,
где N – число, ai – цифры числа, p – основание системы счисления.
    Рассмотрим примеры:
264710 = 2*103+6*102+4*101+7*100,
4051,78210 = 4*103+0*102+5*101+1*100+7*10-1+8*10-2+2*10-3.
    Стереотип заключается в том, что коэффициенты при степенях (значащие цифры числа) целые неотрицательные числа из алфавита системы счисления, т.е. возможно выполнение только операции сложения.
Полусистемы счисления
    Расширим возможности разложения числа по степеням добавив операцию вычитания, тогда число N может быть представлено следующим образом:
N = anpn±an-1pn-1± ... ±a1p1±a0р0±a-1p-1±a-2p-2± ...
    Рассмотренные выше примеры можно записать так:
264710 = 3*103-4*102+5*101-3*100 = 345310,
4051,78210 = 4*103+0*102+5*101+2*100-2*10-1-2*10-2+2*10-3 = 4052,22210,
т.е. для записи любого числа требуется сокращённый алфавит десятичной системы счисления. Будем называть такую систему счисления полудесятичной. Коэффициент, значение которого меньше нуля и основание системы счисления будем подчеркивать чертой снизу.
    Сколько же символов необходимо для записи любого числа в p-ичной полусистеме счисления? Мощность алфавита полусистемы счисления определяется следующим теоремой.
Теорема 
    В любой полусистеме счисления с полуоснованием p количество цифр для записи чисел определяется по формуле:
n = (p+2(p+1) mod 2)/2.        (1)
    Доказательство:
    Рассмотрим отдельно полусистемы счисления с чётными и нечётными полуоснованиями.
    1 Для полусистем счисления с чётным полуоснованием можно записать:
p = 2*q, где q = {1; 2; 3; …}.
    Формула (1) примет вид:
n = (p+2)/2,
или
n = q+1.
    1.1 Докажем справедливость утверждения для q равное 1.
    Если q = 1, то p = 2, тогда p+1 = 3 и (p+1) mod 2 = 1.
    Следовательно, n = (2+21)/2 = 2. Это действительно так. Для записи разных чисел необходимо чтобы алфавит полусистемы содержал хотя бы два разных символа.
    1.2 Допустим справедливость утверждения для некоторого k.
    Если q = k, то p = 2*k, тогда p+1 = 2*k+1 и (p+1) mod 2 = 1.
    Следовательно, n = (2*k+21)/2 = k+1.
    1.3 Докажем справедливость утверждения для k+1.
    Если q = k+1, то p = 2*k+2, тогда p+1 = 2*k+3 и (p+1) mod 2 = 1.
    Следовательно, n = (2*k+2+21)/2 = k+2 = (k+1)+1.
    Справедливость формулы (1) для полусистем с чётным полуоснованием доказана.
    Докажем справедливость теоремы для полусистем счисления с нечётным полуоснованием.
    2 Для полусистем счисления с нечётным полуоснованием можно записать:
p = 2*q+1, где q = {1; 2; 3; …}.
    Формула (1) примет вид:
n = (p+1)/2.
    2.1 Докажем справедливость утверждения для q равное 1.
    Если q = 1, то p = 3, тогда p+1 = 4 и (p+1) mod 2 = 0.
    Следовательно, n = (3+20)/2 = 2. Это действительно так. Для записи разных чисел необходимо чтобы алфавит полусистемы содержал хотя бы два разных символа.
    2.2 Допустим справедливость утверждения для некоторого k.
    Если q = k, то p = 2*k+1, тогда p+1 = 2*(k+1) и (p+1) mod 2 = 0.
    Следовательно, n = (2*k+1+20)/2 = k+1.
    2.3 Докажем справедливость утверждения для k+1.
    Если q = k+1, то p = 2*k+3, тогда p+1 = 2*(k+2) и (p+1) mod 2 = 0.
    Следовательно, n = (2*k+3+20)/2 = k+2 = (k+1)+1.
    Справедливость формулы (1) для полусистем с нечётным полуоснованием доказана.
    Теорема доказана.
Следствие из теоремы
    Две полусистемы счисления с полуоснованиями p1 и p2, для которых справедливо p1 = 2*q и p2 = 2*q+1, где q = {1; 2; 3; …} используют один и тот же алфавит.
    В полусистемах счисления алгебраические операции выполняются по тем же правилам, что и в обычных позиционных системах счисления. Но при выполнении арифметических действий необходимо учитывать особенности представления чисел в полусистемах счисления.
    В качестве примера привожу таблицы для алгебраических операций сложения и умножения в полудесятичной системе счисления.
Таблица 1 – Сложение чисел в полудесятичной системе счисления

+

0

1

2

3

4

5

14

13

12

11

0

0

1

2

3

4

5

14

13

12

11

1

1

2

3

4

5

14

13

12

11

10

2

2

3

4

5

14

13

12

11

10

11

3

3

4

5

14

13

12

11

10

11

12

4

4

5

14

13

12

11

10

11

12

13

5

5

14

13

12

11

10

11

12

13

14

14

14

13

12

11

10

11

12

13

14

15

13

13

12

11

10

11

12

13

14

15

24

12

12

11

10

11

12

13

14

15

24

23

11

11

10

11

12

13

14

15

24

23

22

Таблица 2 – Умножение чисел в полудесятичной системе счисления

×

1

2

3

4

5

14

13

12

11

10

1

1

2

3

4

5

14

13

12

11

10

2

2

4

14

12

10

12

14

24

22

20

3

3

14

11

12

15

22

21

24

33

30

4

4

12

12

24

20

24

32

32

44

40

5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

14

14

12

22

24

30

44

42

52

54

140

13

13

14

21

32

35

42

51

144

143

130

12

12

24

24

32

40

52

144

144

132

12

11

11

22

33

44

45

54

143

132

121

110

10

10

20

30

40

50

140

130

120

110

100

    В контексте следствия возникает вопрос: «Могут ли полусистемы счисления, использующие один и тот же алфавит быть эквивалентными при некоторых условиях их рассмотрения?», на сегодня этот вопрос остаётся открытым. Можно дать отрицательный ответ, опираясь на то, что это разные полусистемы и числа, представляемые в них различны. Но можно ответить и утвердительно, ведь в этих полусистемах используется идентичный набор цифр.

Литература
  1. Беллюстин В.К. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М., 1940
  2. Введение в информатику. Лабораторные работы / авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун-т. – Пермь, 1999. ч. I
  3. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире, 2 изд., М., 1967
  4. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение, М.: МЦНМО, 2004
  5. Депман И.Я. История арифметики, 2 изд., М., 1965
  6. Лебедев С.С., Бабкина А.В. Системы счисления // Научные подходы в повышении качества образовательного процесса в вузе. Материалы 2-й межкафедральной научно-практической конференции – Котлас: Изд-во Котласский филиал АГТУ, 2007. – с. 63-67
  7. Юшкевич А.П. История математики в средние века, М., 1961
Категория: Мои статьи | Добавил: Сергей_Лебедев (10.01.2009)
Просмотров: 923 | Комментарии: 1 | Рейтинг: 5.0/2 |
Всего комментариев: 1
1
1 Н.Е. Знайкин   [Материал]
Непонятно, но прикольно :-)

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Форма входа

Поиск
Друзья сайта
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Copyright С.С. Лебедев © 2020Конструктор сайтов - uCoz